Variables aléatoires somme et moyenne d'un échantillon

Définition

Soit  \(n\)  un entier naturel et  \((X_1,X_2,\dots,X_n)\)  un échantillon de taille  \(n\) .

• La variable aléatoire somme, notée  \(S_n\) , est la variable aléatoire définie par  \(S_n=X_1+X_2+\dots+X_n\) .
  
• La variable aléatoire moyenne, notée  \(M_n\) , est la variable aléatoire définie par  \(M_n=\dfrac{X_1+X_2+\dots+X_n}{n}=\dfrac{S_n}{n}\)
  

Propriété

Soit  \(n\)  un entier naturel et  \((X_1,X_2,\dots,X_n)\)  un échantillon de taille  \(n\) . On a les résultats suivants :

• \(E(S_n)=n \times E(X_1)\) et \(V(S_n)=n \times V(X_1)\)
  
• \(E(M_n)=E(X_1)\) et  \(V(M_n)=\dfrac{V(X_1)}{n}\)
  

Démonstration

Ces propriétés découlent naturellement de la linéarité de l'espérance.

Soit  \(n\)  un entier naturel et  \((X_1,X_2,\dots,X_n)\)  un échantillon de taille  \(n\) .
On a alors  \(E(S_n)=E(X_1)+E(X_2)+\dots+E(X_n)\) .
Les  \(X_i\)  étant de même loi, leurs espérances sont égales. Ainsi,  \(E(S_n)=n\times E(X_1)\)  puis  \(E(M_n)=E\left(\dfrac{S_n}{n}\right)=\dfrac{E(S_n)}{n}=\dfrac{n\times E(X_1)}{n}=E(X_1)\) .

Par ailleurs, les variables aléatoires  \(X_1\) ,  \(X_2,\) ...,  \(X_n\)  étant indépendantes , on a alors  \(V(S_n)=V(X_1)+V(X_2)+\dots +V(X_n)=n \times V(X_1)\)  puis  \(V(M_n)=V\left(\dfrac{S_n}{n}\right)=\dfrac{V(S_n)}{n^2}=\dfrac{n\times V(X_1)}{n^2}=\dfrac{V(X_1)}{n}\) .

Exemple

On considère une variable aléatoire  \(X\)  qui suit une loi binomiale de paramètres  \(3\)  et  \(\dfrac{1}{3}\) .
On rappelle que  \(E(X)=3\times \dfrac{1}{3}\)  et  \(V(X)=3\times\dfrac{1}{3}\times \left(1-\dfrac{1}{3}\right)\) .
On considère un échantillon  \((X_1, X_2, \dots, X_{100})\)  de 100 variables aléatoires indépendantes  de même loi que  \(X\) .
On note  \(M_{100}=\dfrac{1}{100}(X_1+X_2+\dots+X_{100})\) .
On a alors  \(E(M_{100})=E(X)=1\)  e t  \(V(M_{100})=\dfrac{V(X)}{100}=\dfrac{2}{300}\) .